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14. TRIÁNGULO DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
TRIÁNGULO DE PASCAL
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Recordemos en primer lugar el procedimiento seguido para construir el triángulo aritmético o de Pascal.
Numeramos las filas del triángulo comenzando por 0, es decir fila 0, fila 1, fila 2, etc. La fila "n" contiene n + 1 elementos, el primero y el último de los cuales toman el valor 1, mientrás que los demás elementos se obtienen sumando los dos elementos de la fila anterior entre los que se encuentra situado.
El primer applet que se encuentra en esta página muestra inicialmente las primeras filas del triángulo de Pascal.
El interés de dicho triángulo se debe a múltiples razones. Por ejemplo: los números que aparecen en cada fila son los coeficientes que se obtienen al desarrollar (a + b)n. Por ejemplo, si nos fijamos en la fila-3 observamos que los números 1, 3, 3, 1 son precisamente los coeficientes del desarrollo de
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Por otra parte, los números del triángulo reciben el nombre de números combinatorios. En la fila-3 tenemos 4 números combinatorios: C3,0=1 ,C3,1= 3, C3,2= 3, C3,3=1. El número combinatorio Cn,m representa el número de grupos distintos de m elementos que se pueden formar a partir de n objetos, de forma que cada grupo se diferencie de otro en algún elemento (combinaciones de n elementos tomados de m en m). Por ejemplo ¿cuántos delegaciones de 11 miembros se pueden formar a partir de un grupo de 20 personas? La respuesta es C20,11. Para calcular el número basta construir 21 filas del triángulo de Pascal y fijarnos en el número que ocupa el lugar 12 (hemos empezado a contar los elementos de cada fila por el elemento 0 y las filas por la fila-0). El cálculo también se puede hacer utilizando la fórmula siguiente:
Cn,m =
, donde n! se lee "n factorial" y significa: n! = n·(n - 1)·(n - 2)·.......·1. (p.ej. 4! = 4·3·2·1=24)En el triángulo de Pascal aparecen los números triangulares (1, 3, 6, 10,...), tetraédricos (1,4,10,20,35,56,...), los números de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,......), etc.
Se han estudiado multitud de propiedades numéricas del triángulo, criterios de divisibilidad, algoritmos para calcular restos al dividir por un número concreto, etc.
El triángulo debe su nombre al célebre matemático Blaise Pascal (1623-1662) quien estudió algunas propiedades del mismo, siendo más importante el método utilizado para demostrar una de ellas que la propiedad en sí. Pascal utilizó aquí por primera vez de forma clara y precisa el método de "inducción matemática". (Boyer: Historia de las Matemáticas). No obstante hay que recordar que el triángulo de Pascal era conocido desde mucho antes. Las primeras referencias del triángulo corresponden a China, donde está constatado que el triángulo era conocido alrededor de 1100. En relación con el triángulo de Pascal se suelen citar al matemático chino Yang Hui, del siglo XIII, conocido por haber estudiado algunas de sus propiedades, y al matemático persa Omar Khayyam, del siglo XI-XII, cuyo descubrimiento del triángulo se presume que fue independiente del descubrimiento por parte de los matemáticos chinos). Al final de esta página existen enlaces a las biografías que la universidad de St. Andrews (Escocia) pone a disposición de los interesados.TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
El triángulo de Sierpinski esun famoso conjunto geométrico introducido por el célebre matemático polaco Waclack Sierpinski (1882-1969). Se trata de un fractal determinístico que se puede generar de diversas formas. La más usual consiste en partir de un triángulo equilátero, marcar los puntos medios de sus lados y extraer el triángulo interior (considerado como conjunto abierto). Se repite el proceso con los tres triángulos que quedan y así sucesivamente (formalmente el triángulo de Sierpinski se define como la intersección de los conjuntos cerrados que van apareciendo en cada etapa):
TRES PRIMERAS ETAPAS DE LA CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO -
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CUARTA ETAPA DE LA CONSTRUCCI ÓN DEL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
El triángulo de Sierpinski posee algunas propiedades importantes. Se trata de un conjunto formado por infinitos puntos (conjunto infinito no numerable). No existe ningún rectángulo abierto ("abierto" = no se consideran sus bordes), por pequeño que sea, que contenga únicamente puntos del triángulo de Sierpinski.
El conjunto de Sierpinski, junto con la aparición de otros conjuntos geométricos "patológicos" como el conjunto de Cantor, la curva de Peano, la curva de Hilbert, la curva de Koch obligaron a los matemáticos de principios de siglo a desarrollar conceptos nuevos y lineas nuevas de investigación (dimensión y medida de una curva o de un conjunto, autosemejanza, recursividad, sistemas de funciones iteradas, atractores, caos). Todo este conjunto de nuevas ideas fue unificado en los años setenta por Benoit Mandelbrot . A él se debe el concepto de fractal y la presentación de nuevos métodos para el estudio de conjuntos geométricos más "reales" y "complicados" que los conjuntos "ideales" propios de la Geometría Euclídea.
5. Autosemejanzas: describe tres contracciones distintas (centro y factor de contracción) que permiten transformar el triángulo de Sierpinski en una de sus partes (existen tres sub-triángulos principales).
6. Busca información sobre la curva de Koch y el conjunto de Cantor.
7. Busca en Internet información sobre la esponja de Sierpinski (cubo de Sierpinski).
