Benoît Mandelbrot
Nace en Varsovia en el año 1924. Sus progenitores de origen judío lituano, se ven obligados a trasladarse a París en 1936 debido a la grave situación política y social que en esos momentos se vive en Polonia, y gracias, como no, a sus profesiones liberales (dentista la madre y vendedor el padre).
Su afición matemática no es casual; no en vano el tío de Benoît, el matemático Szolem Mandelbrojt, ejercía la docencia en el Collège de France.
Anticipándose a los acontecimientos, la familia sale en tropel hacia el Sur de Francia llegando a la ciudad de Tulle. Allí transcurren sus vidas varios años, hasta la liberación de Paris de manos de las fuerzas aliadas.
Benoît decide estudiar y se presenta a los exámenes de ingreso en la École Normale y la École Polytechnique. Los aprueba ayudándose de su mejor arma: su intuición geométrica. Ingresó en la Normale abandonándola al poco por la Polytechnique.
Aquí es donde entra a formar parte de Bourbaki, una agrupación secreta formada por los matemáticos más destacados del momento, de carácter cerrado y composición fija. Su pertenencia a Bourbaki y su tendencia a no pensar de forma ortodoxa como el resto de matemáticos de la época, hacen de Benoît un espécimen único y brillante, que no se interesa por las matemáticas en sí sino por sus imbricaciones sociales, su relación con la realidad cotidiana en hechos aparentemente fuera de lugar, en su aplicación al pensamiento, en la lingüística matemática, en las periodicidades regulares de distribuciones aparentemente caóticas.
En ocasiones, Benoît, resultaba odioso, pues tal como entraba salía de las disciplinas más diversas, no sin antes realizar aseveraciones y conjeturas sobre el trasfondo fractal de la materia en cuestión, dejando sobre otros la pesada tarea de demostrarlo.
Pasó por el Lyce Rolin en Paris, por Lyon y finalmente por el California Institute of Technology en EEUU.
Trabajó durante 8 años en el Centre National de la Recherche Scientific y una vez en EEUU pasó a formar parte del Centro de Investigación Thomas J. Watson de IBM en Yorktown.
Actualmente trabaja como profesor en la Harvard University.
El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales, y el más estudiado.
Este conjunto se define así, en el plano complejo:
Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por inducción:
Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot (quien es el inventor de las fractales), y si no, queda excluido del mismo. En la imagen anterior, los puntos negros pertenecen al conjunto y los de color no. Los colores dan una indicación de la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión: en rojo oscuro, al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto mientras que en blanco, se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se puede calcular un sinfín de valores, es preciso poner un límite, y decidir que si los p primeros términos de la sucesión están acotados entonces el punto merece el honor de pertenecer al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejora la precisión de la imagen.
Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2 : x2 + y2 > 4 no pertenecen al conjunto. Por lo tanto basta encontrar un sólo término de la sucesión que verifique |zn| > 2 para estar seguro que c no está en el conjunto.
La propiedad fundamental de los fractales es una cierta invariabilidad con relación a la escala, o dicho de otro modo, al acercarse a ciertas partes de la imagen reaparece en miniatura la imagen total. Un mismo motivo aparece a distintas escalas, a un número infinito de escalas.
Al agrandar el cuadro verde, se obtiene la imagen siguiente
Salta a la vista que la bola negra a es una reducción exacta de la bola A. La protuberancia a la izquierda de a también es una reducción exacta de a, y el proceso sigue indefinidamente.También se puede observar que la bola b es una reducción de A (una reducción combinada con una rotación, es decir que b se obtiene de A mediante una semejanza). Mirando mejor, se nota un sinfín de protuberencias semejantes a A.
Volviendo al plano, escojamos esta vez el cuadro azul oscuro a la izquierda. Al agrandarlo, obtenemos
Su parecido a la imagen inicial es obvio. El proceso se puede repetir un sinfín de veces, empezando por agrandar la pequeña mancha negra a la izquierda del cuadro.
Ahora, ampliemos el cuadro violeta del plano:
Y una vez más, el parecido salta a la vista.
Ahora, agrandemos el cuadro azul c
ar
o de la derecha del plano:
Acerquémonos al cuadro blanco de la última imagen:
Aquí se nota una ligera deformación de la figura inicial. Sin embargo, esta imagen sigue siendo isomorfa a la inicial. Y claro, alrededor de cada clon de la forma inicial existen otros clones minúsculos, en las mismas posiciones relativas que en la figura global. El proceso no tiene fin.
Existe otra manera de definir este conjunto:
Es el conjunto de los complejos c para los que el conjunto de Julia asociado a fc(z) = z2 + c es conexo.
Otra representación
En esta imagen, el conjunto es, naturalmente, el mismo, pero las líneas de nivel (que separan los colores, fuera del conjunto) no son idénticas. Esto se debe a que no se ha empleado el mismo criterio de divergencia: en esta imagen es realmente |zn| > 2, mientras que en las anteriores era |zn| > 10, por razones estéticas, ya que así se obtiene una imagen inicial menos oscura.
gentleza de http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Mandelbrot
El Conjunto de Mandelbrot ha sido el estandarte ondeado al viento por los estudiosos y divulgadores de los fractales; ha sido el símbolo por antonomasia esgrimido para dar a conocer una nueva dimensión de la realidad ... o una nueva realidad del concepto dimensión, según se vea.
Si esta afirmación os resulta un tanto oscura, recordar qué son los fractales releyendo el artículo, y vereis como puede cambiar la realidad según con los ojos con que miremos.
Publicaciones tan pretigiosas como la Scientific American han dicho de él que, hasta la fecha, es el objeto matemático más complicado creado por el hombre. Yo añadiría que también el más bello. Entrar en su interior es como abrir una ventana hacia un nuevo universo, es como el País soñado por Alicia.
¿Desde cuándo un objeto matemático nos ha permitido convertirnos en protagonistas y ser los primeros en ver su interior? El Conjunto de Mandelbrot así lo hará, pues su complejidad es infinita, igual que su tamaño y eso hará de él un objeto al abasto de cualquier aficionado a los ordenadores.
Si ya hemos leído los artículos sobre fractales, dimensión y Conjuntos de Julia, podemos continuar, sino más vale empezar por ahí para no perderse en la explicación.
El matemático japonés Shiskikura demostró en 1991 que la dimensión fractal del Conjunto de Mandelbrot es, exactamente, 2. Su demostración matemática es muy complicada y escapa tanto a mis conocimientos como al propósito de este artículo.
Si observamos el Conjunto de Mandelbrot se nos antoja a un muñeco de nieve tipo Michelín pero descansando de costado y con una gran cantidad de verrugas que rodean su silueta.
Un poco de historia
El Conjunto M toma el nombre de su descubridor, el matemático polaco Benoît Mandelbrot, que durante su estancia en el Centro de Investigación Thomas J. Watson de la IBM, estudió los fallos existentes en las líneas telefónicas de la red en la que trabajaba, llegando a la conclusión de que tenían una estructura cantoriana.
El 'boom'
Decir Mandelbrot, es sinónimo de 'fractal'. Todos asociamos los fractales a este insigne matemático polaco. No en vano, a él le debemos la creación del concepto 'fractal'. Concepto dual, pues puede ser tanto sustantivo como adjetivo, y también fue Mandelbrot quien en un primitivo IBM visualizó en blanco y negro el conjunto que hoy lleva su nombre y que podemos ver al comienzo del artículo.
Mandelbrot es considerado el padre de los fractales, y en cierto modo es verdad, no ya por inventarlos, cosa totalmente incierta, sino por aglutinar ciertos estudios matemáticos y físicos en una rama propia de la Matemática y la Física, una rama real, con forma y sentido propios: un nuevo Universo por explorar.
Mandelbrot no inventó los fractales, los fractales estuvieron siempre listos para que alguien tropezara con ellos y diera cuenta de sus secretos. Han sido los compañeros invisibles del ser humano desde el inicio de la creación, como el caos, que viene a ser la mano invisible que mece la cuna.
Más historia
A finales del siglo XIX y principios del XX, la Matemática y la Física pasaron momentos difíciles. En el mundo matemático hubo tempestades cognitivas. Apareció la disquisición sobre los fundamentos de la Matemática, la confrontación entre la metodología abstracta y la constructiva, relaciones entre lógica y matemática, importancia de las paradojas en el desarrollo y estudio, la disputa entre los constructivistas-intuicionistas como Kronecker, Poincaré, Borel, Brouwer, ... y los formalistas-logicistas como Cantor, Peano, Hilbert, Russell, ...
Todos estos conflictos dieron lugar a una fructífera labor matemática por parte de ambos bandos. Sólo hay que pensar en los 23 problemas propuestos por Hilbert en su discurso en el Primer Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en París. 23 problemas no resueltos en el momento de la conferencia y que han inspirado a los matemáticos de varias generaciones durante más de 100 años.
Estamos pues en la época de los 'monstruos matemáticos', llamados así por que no obedecían los preceptos euclidianos. Hablamos de la Curva de Hilbert, el Conjunto de Cantor, el Triángulo de Sierpinski, la Curva de Peano, ...
Todo este material es el caldo de cultivo de los fractales, campo que no se limita a simples transposiciones en el plano de figuras geométricas sino que tiene un amplísimo y vasto campo de investigación y actividad sobre el que seguir trabajando durante decenas de años.
Mandelbrot fue el aglutinador de todo lo disperso en el campo de la Física y la Matemática sobre sistemas dinámicos complejos, fractales e incluso rescató el olvidado concepto de dimensión dado por Hausdorff y posteriormente modificado por Besicovitz a principios de siglo.
Es sobre este concepto de 'dimensión' sobre el que se cimentan las explicaciones sobre como las curvas fractales rellenan el plano y, por lo tanto, tienen dimensiones fraccionarias.
gentileza de http://www.fractales.org/modules.php?op=modload&name=Sections&file=index&req=viewarticle&artid=8&page=1
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