La siguiente reseña sobre tipos de geometría está basada en el libro de Jan Gullberg, Mathematics from the Birth of Numbers. New York, WW Norton & Company, 1997.

Geometrías euclidianas

geometría euclidiana: también conocida como geometría clásica o elemental. Principalmente comprende puntos, líneas, círculos, polígonos, poliedros y secciones cónicas. Se basa en las definiciones y axiomas descritos por Euclides (c.330 - c.275 a.C.) en su tratado Elementos, un compendio de todo el conocimiento sobre geometría de su tiempo. La geometría sólida comprende, principalmente, esferas, cilindros y conos, y fue desarrollada por Arquímedes (287 - 221 a.C.) varios años más tarde. Las secciones cónicas fueron el tema de los estudios de Apolonio para la misma época (c.260 - después de 200 a.C.).

Trigonometría: la geometría de los triángulos. Hiparco de Nicea (? - después de 127 a.C.) ha sido acreditado con la invención de esta rama de la geometría, como método para resolver distancias astronímicas. Puede dividirse en trigonometría plana, para triángulos en un plano, y trigonometría esférica, para triángulos en la superficie una esfera.

Geometría de proyección: interesada en las propiedades de figuras planas que no cambian cuando un conjunto específico de puntos se proyecta sobre un plano. Comenzó a usarse en los siglos XV y XVI como aplicación a la arquitectura por el maestro italiano Leone Alberti (1404 - 1472) y el matemático francés Girard Desargues (1591 - 1661), aunque a veces es asociada (junto con la geometría descriptiva) con Tolomeo de Alejandría (c. d.C. 100 - c.170).

Geometría analítica: Inventada por René Descartes (1596 - 1650), trabaja problemas geométricos a base de un sistema de coordenadas y su transformación a problemas algebraicos. Se subdivide en geometría analítica plana, para ecuaciones con dos variables, y geometría analítica sólida, para ecuaciones con tres variables.

Geometría diferencial: tuvo su origen cuando matemáticos del siglo XVIII, siguiendo los descubrimientos de Descartes, añadieron cálculo diferencial e integral a curvas, superficies y otras entidades geométricas.

Análisis vectorial (de vectores): estudia las cantidades que poseen magnitud y dirección. Conocida desde los tiempos de Aristóteles, y más aún por Simon Stevin en los 1580s, la teoría moderna data de principios del siglos XIX.
Geometrías no euclidianas
En el siglo XIX, matemáticos comenzaron a desarrollar otros tipos de geometría para los cuales, al menos, uno de los axiomas de Euclides no se sostiene. Esto dio origen al florecimiento de las geometrías no-euclideanas.

Geometría hiperbólica: acreditada independientemente a Nicolai Lobachevski (1792 - 1856) y János Bólyai (1802 - 1860). Rechaza el postulado del paralelo de la geometría euclideana, y establece que "Por un punto dado fuera de una línea recta dada pasa más de una línea que no interseca la línea dada."

Geometría elíptica: también rechaza el postulado del paralelo, y establece que "no hay líneas paralelas, y si se extienden suficientemente lejos, dos líneas rectas cualesquiera en un plano se encontrarán." Su invención ha sido acreditada a Bernhard Riemann (1820 - 1866).

Topología: También procedente del siglo XIX, comenzó con el astrónomo belga Augustus Möbius (1790 - 1868) y otros matemáticos, entre los que luego se encontraron David Hilbert (1862 - 1943), Oswald Veblen (1880 - 1966) y Henry Whitehead (1904 - 1960). Se ocupa de las propiedades que no se alteran por deformaciones continuas tales como flexión, "estiramiento" y "torcimiento".