Los conjuntos de Mandelbrot y Julia están
estrechamente relacionados. El conjunto de Mandelbrot itera z
= z^2 + c comenzando con z = 0 y variando el valor de c. El de
Julia, por su parte, itera esa misma función, pero con
valores fijos para c y variando los de z. Cada punto c en el conjunto
de Mandelbrot especifica la estructura geométrica del conjunto
de Julia correspondiente. Si c está en el conjunto de Mandelbrot,
entonces el de Julia será conectado (cerrado). De lo contrario,
el conjunto de Julia será sólo una colección
de puntos desconectados, trazados sobre una gráfica.
Una ecuación se define como un enunciado que demuestra
que dos expresiones matemáticas son equivalentes, tal como
x + 1 = 3 - x^2.
ECUACIONES, FUNCIONES O FÓRMULAS?
Una función puede definirse
como una asociación entre dos o más variables, en
la cual, para cada valor de las variables independientes, o argumentos,
corresponde exactamente un valor de la variable dependiente en
un conjunto específico (conocido como el dominio de la
función). Por ejemplo: en una función como f(y)
= x + 1, el valor de la variable y depende y varía según
el valor de x. En dicha expresión, y es la variable dependiente,
mientras que x es la variable independiente.
Una fórmula, por otra parte (y en
nuestro caso), expresa un hecho o una realidad matemática.
Como ejemplo, la fórmula para calcular el área de
un triángulo es a = bh/2, donde b es la medida de la base,
h es la medida de la altura, y a el área calculada para
el triángulo.
Cuando nos referimos
al conjunto de Mandelbrot, f(z) = z^2 + c, sería más
apropiado hablar de función. Mientras que esta expresión
es una ecuación, pues estamos estableciendo que un lado
es equivalente al otro, es una función puesto que estamos
limitando los posibles valoreas a un dominio determinado .
LOS FRACTALES Y EL CAOS
Por varias razones, los fractales han sido asociados a la teoría
del caos. Mientras que algunas de estas figuras sí están
estrechamente relacionadas, hay otros tipos de fractales que en
nada tienen que ver con el caos. Como hemos visto, los primeros
ejemplos de construcciones fractales (matemáticas) datan
de finales del siglo XIX, mucho antes de que la teoría
del caos fuese propuesta en la década de 1960. Aún
así, gracias a los avances tecnológicos, esta teoría
ha generado varios tipos adicionales de fractales. El Dr. Edward
Lorentz, del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT,
por sus siglas en inglés) es uno de los pioneros en este
campo, a pesar de que Jules Henri Pointcaré ya había
formulado el "Efecto Mariposa" tan temprano como los
1830's.
Estrictamente hablando, la teoría del caos es el estudio
de los sistemas no lineales, para los cuales el índice
de cambio no es constante. Se caracterizan por su carácter
impredecible. La climatología y el crecimiento poblacional
son buenos ejemplos de sistemas no lineales; ambos, también,
son fractales.
En sistemas no lineales, cada estado
del sistema está determinado por sus estados anteriores
(iteración).
Un minúsculo cambio en los valores iniciales puede tener
dramáticos efectos en el resultado del sistema.
Gracias a los descubrimientos de la teoría del caos y de
la geometría fractal, los científicos han podido
comprender cómo sistemas que anteriormente se creían
totalmente caóticos, ahora exhiben patrones predecibles.
Una de las contribuciones más significativas de la geometría
fractal ha sido su capacidad para modelar fenómenos naturales
tales como las plantas, las nubes, las formaciones geológicas
y los fenómenos atmosféricos. Esta teoría
también ha contribuido a otros campos tan diversos como
la lingüística, la psicología, las técnicas
de compresión de imágenes digitales, la superconductividad
y otras aplicaciones electrónicas.
La mayoría de los
modelos del DBM® son Modelos Fractales. Algunos indicadores sobre
los fractales pueden ayudar a resaltar aún más la flexibilidad,
utilidad y relevancia de estos modelos.
