El triángulo de Sierpinski
De la misma manera, podemos producir un triángulo de Sierpinski, una figura inventada por el matemático polaco Waclaw Sierpinski en 1915:
Para éste, se comienza con un triángulo equilátero. En su interior, se traza otro triángulo equilátero, cuyas puntas, o esquinas, deben coincidir con los puntos medios de cada lado del triángulo mayor. Esta nueva figura tendrá una orientación invertida con respecto a la primera. Seguido, se retira, o se elimina, de la figura ese nuevo triángulo invertido, tal que solamente se conserven los tres triángulos equiláteros menores—y similares—que se observan dentro del grande. Luego, realizamos el mismo procedimiento (de iteración) para cada triángulo pequeño, obteniéndose, como resultado, un triángulo de Sierpinski.
Hay que tener en cuenta que cuando decimos que se elimina ese nuevo triángulo no solamente significa que quitaremos ese triángulo del medio y nos olvidamos de él, sino que los puntos contenidos en esa área, específicamente, no pertenecen al conjunto de puntos comprendidos en el triángulo de Sierpinski; o dicho de otro modo, esa sección no pertenece al conjunto.
Aunque la existencia de los fractales se conoce desde fines del siglo XIX (cuando eran considerados, simplemente, como curiosidades matemáticas), su verdadera identidad no fue plenamente expresada hasta las décadas de 1960 y 1970, gracias a los importantes estudios de Benoît Mandelbrot y otros científicos.
También conocido como Arandela de Sierpinski es
un objeto fractal de dimensión de Homotecia D=log(3)/log(2)~=1.58496
Definamos como Triángulo de Sierpinski en la iteración
n=0 un triángulo equilátero de lado x. En iteraciones sucesivas
n=1,2,3..., iremos recortando un triangulo equilatero con la base invertida
de lado mitad al de la iteracion anterior del centro del triángulo de la iteración
anterior. La siguiente animación muestra el proceso de construcción para 6 iteraciones.
El modelo teórico de Triángulo de Sierpinski necesitaría
un número infinito de iteraciones para construirse.
Teniendose en cuenta que el área de un triangulo equilátero
de lado x viene dada por la expresión
2
Raiz(5) * x
A(x) = --------------
4
Y que el número de triángulos equiláteros que conforman
la Arandela de Sierpinski para la iteración n-ésima son
n
3
Cuya longitud de lado (de estos triángulos) en la iteración
n-ésima es
x
---
n
2
El perímetro de todos los triángulos viene dado por
n
3 * 3 * x
L(x) = Lim ------------ = Infinito
n->oo n
2
El área total de los triángulos será
n 2
3 * Raiz(5) * x
S(x) = Lim ------------------- = 0
n->oo 2n
4 * 2
Conforme las iteraciones se suceden, vemos como el área
total se va desvaneciendo hasta llegar a cero. Al tiempo, el perímetro de infinitos
triángulos tenderá a infinito.
