El conjunto de Julia
inventado por el matemático Gaston Julia es una familia de conjuntos fractales parametrados por un complejo c así:
Para todo complejo z se contruye la sucesión por inducción:
- z0 = z (término inicial)
- zn+1 = zn2 + c (relación de inducción)
Si esta sucesión queda acotada, entonces se decide que z pertenece al conjunto de Julia de parametro c , notado Jc, y sino queda excluido del mismo.
En las imágenes anteriores, los puntos negros pertenecen al conjunto y los de color no. Los colores dan una indicación de la velocidad con la que divierge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión: en rojo oscuro, al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto, y en blanco, se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se puede calcular un sinfín de valores, es preciso poner un límite, y decidir que si los p primeros términos de la sucesión están acotados entonces el punto merece el honor de pertenecer al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejora la precisión de la imagen.
Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2 : x2 + y2 > 4 no pertenecen en el conjunto. Por lo tanto basta encontrar un sólo término de la sucesión que verifique |zn| > 2 para estar seguro que c no está en el conjunto. Existe una relación muy fuerte entre los conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot notado M, debida a la similitud de sus definiciones:
- Si c pertenece a M entonces Jc es conexo (de un solo trozo), mientras que si no, Jc será constituido una infinidad de puntos aislados, repartidos de una manera fractal (lo que se llama polvo de Cantor por su parecido al conjunto de Cantor ).
Las imágenes más hermosas se obtienen al tomar el parámetro c en la frontera de M, porque en el interior de M, Jc toma el aspecto de un objeto bastante liso y redondo, poco fractal, y en el exterior, sólo queda polvo microscópico y disperso.
En las imágenes, se han tomado como valores de c: -1,3 + 0,00525·i ; -0,72 – 0,196·i ; -0,1 + 0,87·i y -0,51 – 0,601·i, por razones estéticas.
Se puede generalizar estos conjuntos tomando otras relaciones de inducción: zn+1 = f(zn) con cualquier función compleja f (va de C hacia C). Se puede tambíen generalizar a cualquier dimensión, y empleando varias funciones en vez de una sola.
gentileza de http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Julia
La iteración de funciones polinómicas siempre han dado resultados cuanto menos curiosos o sorprendentes como habrás observado en el apartado iteración de sistemas dinámicos.
El plano real
En el siguiente ejemplo nos encontramos con que lo sorprendente del resultado de la iteración está relacionado con un nº que obsesionó a la escuela pitagórica y a multitud de matemáticos y artístas: la razón áurea o número de oro.
Este curioso número es:
Tomemos el polinómio x2-1, si lo iteramos x(n+1)=x(n)2-1, aparentemente no observaremos nada en las sucesiones obtenidas, pero una investigación más profunda nos dirá que para valores x(0) comprendidos entre 
las sucesiones obtenidas estarán perfectamente acotadas en el plano real, pero para el resto de valores las órbitas tenderán al ∞.
polinomio x2-1 |
|
x(0)=1.3 |
x(0)=-3 |
| 1.3 | -3 |
| 0.69 | 8 |
| -0.5239 | 63 |
| -0.7255 | 3968 |
| -0.4736 | 15745023 |
| -0.7756 | ... |
| -0.3982 | ... |
| -0.8413 | ... |
| ... | ... |
| acotados | escapan al ∞ |
El Conjunto de Julia del polinomio x2-1 está formado por los valores de x(0) que no escapan hacia el ∞ y permanecen acotados y perfectamente delimitados, es decir, los obtenidos tomando para x(0) cualquier valor comprendido en el intervalo áureo .
Este es otro ejemplo más de la trascendencia de ciertos racionales en el ámbito de las Ciencias. Primero fue pi, luego el numero e, ahora la razón aúrea.
Conclusión
De aquí se desprende que toda función polinómica tiene su Conjunto de Julia asociado pero el espectáculo fractal comienza cuando del plano real saltamos a iterar funciones polinomiales en el plano complejo. Si es necesario, repasa los complejos para tener el bagaje mínimo para entender toda la explicación (como dirían los matemáticos es "condición necesaria pero no suficiente" ;-)
El plano complejo
Si no dominamos el plano complejo lo tendremos difícil en este apartado.
Cojamos el polinomio usado anteriormente en el plano real e iterémoslo pero en el plano complejo.
polinomio z2-1 |
|
iteración z(n+1)=z(n)2-1 |
|
x(0)=(5-6i) |
x(0)=(-1.01+0.2i) |
| -12-60i | -0.0199-0.404i |
| -3457+1440i | -0.16281999+0.0160792i |
| 9877250-9956160i | -0.9737481915290399-0.005236030366416001i |
| -1565054383101-196678962720000i | -0.0518418755079222+0.010197150200177434i |
... |
... |
| la órbita escapa al ∞ en pocas iteraciones | la órbita parece ser atraida por el origen del plano complejo (0+0i) |
Hemos visto en el apartado anterior que ciertos valores iniciales una vez iterados suficientes veces escapan al ∞ y otros parecen atraidos por el origen del plano, estando perfectamente acotados, estos últimos son los que forman J (Conjunto de Julia).
Si pintamos de negro los puntos que no escapan al ∞ tendremos una primera visualización de J en el plano de Argand.
Conjunto de Julia para z2-c, con c=-0.75
Difiere mucho de la típica imagen a que nos tienen acostumbrados los ilustradores del Conjunto de Julia. Todo se andará y veremos el porqué de tantos colorines.
Los comienzos
Gaston M. Julia y Pierre Fatou, trabajaron a principios de siglo (1918) en funciones de variable compleja. Iterándolas y observando su comportamiento, dieron con muchas de las propiedades básicas de la iteración en el plano complejo.
Comenzaron a trabajar con la familia de polinomiales z3-1=0. Estudiaron las cuencas de atracción de sus soluciones y obtuvieron que la raiz actuaba como atractor para todo un conjunto de puntos z0. Estas cuencas estaban muy enredadas y sus fronteras presentaban una complejidad inusitada.
Julia decidió que trabajaría sobre las simples polinomiales de 2º grado, que a buen seguro le darían más trabajo del que pudiera necesitar.
Con su trabajo se convirtió en un precursor de los sistemas dinámicos, sistemas muy sensibles a las condiciones iniciales, en las que una pequeña variación provoca un comportamiento radicalmente distinto del previsto; para un valor z(0)=p la órbita generada era atraida al origen del plano, para otro valor z(0)=p+0.001i escapaba hacia el ∞.
De modo general entenderemos por sistema dinámico a un par (X,f) formado por un conjunto no vacío X y una aplicación 
. Dado un punto 
, se llama órbita de x a la sucesión (fn(x)) donde fn es la composición f consigo misma n veces.
En un sistema dinámico (X,f) un punto se dice 
que es un punto fijo si f(a)=a y se dice punto periódico de periodo n>1 si fn(a)=a y fi(a)‡a para n>i>=1.
Los sistemas dinámicos complejos estudiados por Julia y Fatou eran (C,fc) donde C es el campo complejo y 
, para un número complejo c, viene dado por la expresión
fc(z)=z2+c
El trabajo de estos matemáticos se centró en determinar que sucedía con un punto 
en el sistema dinámico (C,fc), llegando a la conclusión de que para ciertos valores de c, la órbita de los puntos en un entorno del origen convergían a un punto fijo de la aplicación de fc, mientras que la órbita de los puntos más alejados del orígen se iban al ∞. Cada uno de estos tipos de puntos constituyen una región y en medio queda una frontera "infinitamente delgada" que se conoce con el nombre de "Conjunto de Julia".
Estas explicaciones tan técnicas serán resueltas o explicadas en un lenguaje comprensible más adelante.
Color=Complejidad
Julia intuía la importancia de su trabajo pero no tuvo oportunidad durante sus años de fructífera producción-investigación matemática de gozar de un ordenador y proyectar una imagen de su conjunto en el monitor. Si así hubiera sido, hubiera avanzado, a buen seguro, mucho más en su trabajo, pero todavía faltaban unos cuantos años para que el ordenador personal (PC) apareciera en el mercado.
La 1ª visualización que hemos visto de J difiere, como he dicho, de la típica a que nos tienen acostumbrados, las ilustraciones tan impactantes que hoy dían corren por la Red.
Nos encontramos con una imagen en blanco y negro, con sólo 2 colores y las típicas tienen cientos o miles, ... ¿A qué se debe tanto colorido?
Fácil, a la velocidad con que las órbitas escapan hacia el ∞ y a la que se acercan al origen.
No todos los valores z(0) que escapan al ∞ lo hacen a la misma velocidad, algunos lo hacen a la 3ª iteración, otros a la 10ª y otros debemos iterarlos cientos de veces para preveer su comportamiento. Igualmente, tampoco todos los valores cuya órbita queda delimitada en el plano lo hacen a la misma velocidad.
La pregunta obvia es: ¿cómo sabemos si realmente escapan o no hacia el ∞?
Realmente, no lo sabemos, intuimos su comportamiento comprobando unas pocas iteraciones, si no estaríamos siempre calculando el primer valor dado a z(0).
Lo riguroso sería iterarlo infinitas veces, pero como ello no es posible, nos limitamos a iterar 150 veces cada posible valor de z(0) y estudiando la sucesión obtenida determinamos su tendencia. Según el valor escogido de z(0) el crecimiento de la sucesión obtenida hacia el ∞ será + o - rápido, o su tendencia a ser atraido por una cuenca de atracción + o - rápida y es ahí donde pintaremos el píxel del monitor de un color u otro, obteniendo la típica imagen de J.
Conjunto de Julia coloreado según "algoritmo de escape"
Los algoritmos de coloración son las reglas que asignan color a los pixels. Existen muchos e influyen de forma determinante en el resultado final del fractal, así como también lo hará la paleta de colores asignada al fractal.
En la típica imagen de J, la zona supercoloreada es la formada por los puntos que escapan al infinito, es decir, los que no pertenecen al conjunto, y el color concreto depende del número de iteraciones necesarias para que escape hacia el infinito. Recordemos que no todos los valores de z(0) lo hacen a la misma velocidad.
Iteración Inversa
El método anterior es largo por el nº de operaciones que deberá hacer el ordenador. En la actualidad no representa problema, dada la velocidad de cálculo que alcanzan los ordenadores de última generación, pero hubo un tiempo en que la tecnología punta era un flamante XT sin coprocesador matemático que tardaban horas en calcular un fractal tipo mandel.
Todo algoritmo matemático es susceptible de variación, incluso puede sustituirse por otro que realice la misma función bajo otro planteamiento o usando otra técnica que conduzca a la obtención del mismo resultado.
Para los Conjuntos de Julia la solución está en el algoritmo de iteración inversa.
En este algoritmo se hace uso de la trigonometría: dado un complejo z=x+yi podemos representarlo en el plano de Argand con coordenadas polares mediante un radio r y un ángulo 
.
y +
y ángulo 
